哲学ファンの為の空間論入門 -数学武装の勧め-（第27回哲高レジュメ）

【編集註：dualityさんによるレジュメです。html化にあたり、タグ付けによる解釈（見出しレベルなど）が入っています】

☆緒言

哲学は形而上学、詭弁で止まって欲しくない。また社会現象、自然を見つめるにしてもheuristic, adhocなレベル、博物学の段階で止まって欲しくない。数学を言語とする基礎科学へ踏み込む努力が必要だ。それにより、体系化、概念の拡張、誤謬の発見、自然の複雑さ、科学の限界を知るであろう。心理学、脳科学への攻略、環境問題への理解も空間についてもっと知る必要がある。一口に空間と言っても茫洋としているが、行動、回想、認識、思考の場という事。ここでは、歴史的な空間概念の拡張、高次元空間、非整数次元等について紹介する。哲学のテンプレートになれば幸いだ。

☆歴史的レビュー

Euclid: 原論(直線と円による空間構成)
Copernicus: 地動説(座標変換の効用) -> 万有引力
Descartes: 方法序説(数量の直交座標への展開) -> 分析、近代科学の誕生
Boliyai: 空間論 -> 曲がった空間(Lobachevsky, Riemann) -> 一般相対論
Galois: 群論 -> 対称性
特殊相対論: 時間の空間との一体化
量子論: 不確定性原理(空間の双対性)
くりこみ群、フラクタル -> 次元の非整数化

☆高次元空間

-点粒子がそれぞれ持つ空間

内部自由度、外部自由度
分光分析との関係

-関数空間

積分変換

-正多面体の高次元化

Schloefli記号
Euler標数

-高次元結晶

Penrose tiling/準結晶
変調構造

☆次元の落とし方

拘束条件と自由度
断面と射影
周期的境界条件(対称性)
粗視化、くりこみ

☆非整数次元

相似性(フラクタル)次元の計算方法

☆距離もいろいろ(ノルム)

大小関係も直ぐには決まらない。

☆ネットワーク(空間のつながり方)

正方格子
ベーテ格子
ポテンシャル、結合定数

参考:

相対論については解説書が多いので触れないが次の本はお勧め。数式は出るが、文系の人にも易しい解説。

一石賢: 道具としての相対性理論(日本実業出版,2005)